明敏 闻乐 发自 凹非寺
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诺奖得主都没找到的证明方法，现在被两位华人学者突破了。
凝聚态物理奠基人菲利普·安德森（Philip Warren Anderson）提出的Anderson模型，因解释了半导体材料中电子为何突然不再流动而闻名。
这一成果也助力他获得诺奖。但是他当时求教各路学者，也没能解决这一模型的数学证明。这一问题也困扰了学界数十年，虽然陆续有研究提出，但是进展都不够重大。
终于，两位华人学者联手攻坚16年，实现这一突破。
其中，尹骏还是中科大少年班校友。
Anderson模型：电子在走“迷宫”
20世纪50年代，贝尔实验室里一位名叫乔治·费赫尔（George Feher）的物理学家正在往硅里注入少量其他元素，比如磷或砷。
他发现，少量加入时，电子可以在材料中自由移动；随着加入量增多，材料结构会发生变化，到达某一个临界点后，电子会突然被困住，材料将不导电。这个转变点就像水在零度时会开始结冰。
这是半导体材料最明显的一个特点，也是它能成为芯片材料的关键点：既能导电、又能绝缘，而且这种开关状态可控。
这个现象很快吸引了当时同在贝尔实验室的菲利普·安德森（Philip W. Anderson）。他想要解释为什么材料会表现出这种特点。
1958年，他提出了一个量子力学模型——Anderson模型来解释这种变化。
他想证明，当材料的结构足够随机时，电子就会从能够自由移动（离域化）转变为完全被困（局域化）。
我们可以把Anderson模型看成对电子在材料里运动的描述。
简单来说，电子在材料里的运动就像在走迷宫，材料里的原子排列就像迷宫里的墙壁和通道。
Anderson模型想解释的是：电子啥时候能在迷宫里自由跑动（材料导电），啥时候会困在某个角落动弹不得（材料不导电）。
如果原子排列有序，那么迷宫就会比较规整，比如只含单一元素的材料。通道清晰，电子就能顺着通道跑很远，这时电子是离域的，材料是导电的。
但如果材料里掺杂了太多其他原子，打破了原本的排列，迷宫就会变得特别乱，到处都是死胡同，电子跑几步就被挡住，最后被困在一小块地方，这就是电子局域化，这时材料就不导电了。
Anderson模型的核心就是：当材料的混乱程度超过某个临界点时，电子就会从跑很远变成跑不动。
虽然模型给出了材料从导电变成不导电的解释，却没有严格的证明。
1977年，菲利普获得诺贝尔物理学奖，他在演讲中还提到，当时他为了证明这一模型，请教骚扰了很多人，但是仍旧未果。
后来这一证明也困扰学界很久，不少研究人员都发布了一些成果，但是最重要的进展还是这一次。
带矩阵带宽越宽，电子越活跃
要理解电子的整体行为，可以使用矩阵来计算一系列的值，这些值就是本征函数。
由于Anderson模型里的矩阵太复杂，计算本征函数十分困难，科学家们就找了个简化版工具来描述——带矩阵。通过带矩阵来计算特征值。
特征函数可以理解为电子在材料中各个位置出现的概率分布。函数值越大，说明电子在那个位置出现的概率越高；函数值在大范围区域内都不为零，说明电子能跑到很多地方（离域）；如果只在某个小区域有值，其他地方几乎为零，说明电子被困住了（局域）。
这种矩阵像条带子，中间对角线有数字，带宽是指矩阵中非零元素分布的范围，也就是从主对角线向两侧延伸的宽度。
可以抽象地认为，带宽越宽，电子可移动的范围就越大，带宽越窄，电子可移动范围就小，甚至困在某一区域。
但是，该怎么用数学证明这个带宽临界点呢？
数学家们从最简单的一维情况下开始研究，也就是把带矩阵想象成一根细绳。
这些数学家中就有姚鸿泽和尹骏。
2008年，尹骏在完成普林斯顿大学博士学业后加入姚鸿泽的团队，他们证明了当带宽非常宽时，大多数特征函数很小，也就是说电子都是离域的，但这个宽度离物理学家们预测的宽度还有很大距离。
后来他们试了各种方法来进行带宽很窄情况下的分析，甚至研究过七维的复杂情况，但十年来都没有太大的进展。
直到2024年春天，姚鸿泽和尹骏意识到之前被他们摒弃的一种方法或许仍然有用——随机矩阵理论中调整矩阵的方法。
也就是把复杂的带矩阵稍微改一改，变成容易研究的新矩阵，再证明改动对结果没影响。
在这个过程中需要解决两个问题：第一，调整矩阵的过程中不会影响特征函数；第二，必须证明新矩阵的特征函数很小，也就是说电子是离域的。
用这种方法求解方程的过程中，他们被一堆复杂的方程绕晕了，陷入了噩梦般的循环：求解并没有得到一个简单整洁的答案，反而出现了更复杂的新方程。
尹骏回忆称：
计算越来越复杂，Really？
在后来数月的时间里，他们画了200多张图才理清楚思路，找到了简化方程的方法，把原本缠绕的循环方程拆成了可逐步求解的线性链条。
他们证明了：在一维带矩阵中，带宽的宽度如果略宽于预测的阈值，特征函数必须很小，不会在某个局部区域集中出现大值，也就说明了此时电子没有被困住，处于离域状态。
这是Anderson模型提出以来，进展最大的一次数学证明。
后来，他们把成果拓展到二维，并且在今年7月，三维问题也取得了重大进展。
尹骏回忆2008年问及同伴在冬天结束之前是否能完成带矩阵的研究时，同伴开玩笑反问“哪个冬天？”
在完成这项研究后，尹骏表示：
我没有想到最终完成这项工作需要16个冬天。
两代华人学者16年攻坚
这项成果由两位华人数学家带来：姚鸿泽和Jun Yin。
姚鸿泽（Horng-Tzer Yau）是普林斯顿博士，本科毕业于台湾大学，曾是斯坦福大学数学系教授，2005年起至今担任哈佛大学数学教授。
当时哈佛大学艺术及科学院院长柯伟林评价他是数学领域的先锋人物，对几率、随机过程、非平衡态、统计物理及量子力学有重大贡献，提供重大的研究观念及方法。
姚鸿泽最初接触高等数学是高中时开始自学，高一高二一天至少花10个小时学数学，主要原因是“高中太无聊了，学校的课程并不吸引人，又必须坐在那里，所以只能读自己的书”。
自学的第一本高数教科书甚至是随便买的，然后看这本书的参考目录有什么，他就顺着去找书读。
高中时期对他帮助最大的Tom M.Apostol的《数学分析》，他做完了所有的习题。而会读这本书的理由也很特别：因为我的高中数学老师提过这是他们以前的课本，全班都挂科，我很好奇，就买来看。
基本上，我高中自学大学教材没什么困难，但是大学时自学研究生阶段的课程就有些困难。
不过他本科时期的考试成绩并不是特别好，“大学时我是在浪费时间”，觉得几何、拓扑没什么意思，这导致他到大三时都不太想读数学了。
主要原因可能还是他觉得课程没什么意思。姚鸿泽觉得，数学不需要那么严格，不需要每样都在大学里教，比如微积分这类可以教得严格一点。但严格也是相对的，如果用图能一目了然证明，那画个图就好了，学生也能很快学会。
以我的观点来看，宁可让学生很快学到最直觉的观点，看到定理的应用，而不是用最严格的方法去证明。
后面姚鸿泽赴普林斯顿大学读博士，当时“学数学已经学得很烦，所以想去学物理”。到普林斯顿的第一年，他都在上物理系的课，数学系的课一点儿没管，最后也是为了考试突击。
他当时想去物理系找指导老师，但是进展不顺利，有一位做天文方向的老师给了他一篇paper去读，他读得也很吃力。后面兜兜转转找到了数学系的查尔斯·费弗曼（1978年获菲尔兹奖），因为他当时有在做一些物理相关的内容。
这也决定了他之后的研究方向，主要是从数学维度去解释物理现象，帮助大家更好理解物理问题。
他表示，自己职业生涯的大部分时间都在研究Anderson模型这一问题。
这是我第一次感觉，我们将带来重大影响。
另一位作者是尹骏，他是中国科学技术大学少年班1998级校友，2008年获得普林斯顿大学物理系博士学位。先后在哈佛大学、威斯康星大学担任教职，目前是加利福尼亚大学洛杉矶分校教授。
他于2013-2014年获得普林斯顿高等研究院冯·诺依曼研究奖，2014年获斯隆奖（“诺奖风向标”，主要表彰物理学、数学、计算机等领域在职业生涯早期取得成就的杰出年轻学者）。
△尹俊个人经历里还提到了结婚和生娃hhh
One More Thing
值得一提的是，这两年大模型领域常说的“涌现”这一概念，由Anderson模型的提出者菲利普·安德森进一步明确。
1972年他在Science发表了一篇名为《多即不同》（More is Different）的文章，提出“物理系统在每一个复杂度上都会出现全新的性质”。
这篇文章的核心思想就是“涌现”，同时也是凝聚态物理学的独立宣言。
菲利普也被誉为凝聚态物理奠基人，他的研究领域跨越物理、材料学甚至信息科学，还曾尝试解释高温超导等问题。
论文地址：https://arxiv.org/abs/2501.01718
参考链接：[1]https://www.quantamagazine.org/new-physics-inspired-proof-probes-the-borders-of-disorder-20250815/[2]https://people.math.harvard.edu/~htyau/[3]https://www.math.sinica.edu.tw/media/pdf/d273/27302.pdf[4]https://sites.google.com/view/jun-yin/home
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